Ünüvar werd op 13 juni 2003 geboren in Zaandam. De speler doorliep vanaf 2011 de jeugdopleiding van Ajax en maakte op 22 januari 2020 zijn debuut in het eerste elftal in de bekerwedstrijd Ajax – SV Spakenburg (7-0). In dat duel wist hij direct een doelpunt te maken. Ünüvar speelde tot nog toe drie wedstrijden in de hoofdmacht van Ajax. In de afgelopen twee seizoenen kwam de rechtspoot op huurbasis uit voor het Turkse Trabzonspor en FC Twente.
Technisch directeur Alex Kroes: „Naci heeft helaas niet de definitieve stap naar Ajax 1 kunnen maken. Hem wacht een mooie sportieve uitdaging bij Espanyol. Hopelijk komen daar al zijn sportieve wensen uit. Wij wensen hem alle succes toe."